HIMPUNAN

Pengertian Himpunan, dan Jenis-Jenis Himpunan

 

Sumber : https://idschool.net/sma/operasi-pada-himpunan/

Definisi Himpunan

Istilah himpunan dalam matematika berasal dari kata “set” dalam bahasa Inggris. Kata lain yang sering digunakan untuk menyatakan himpunan antara lain kumpulan, kelas, gugus, dan kelompok. Secara sederhana, arti dari himpunan adalah kumpulan objek-objek (riil atau abstrak).

Objek yang terdapat dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota. Kita katakan bahwa himpunan mengandung elemen-elemen. Kata “berbeda” di dalam definisi di atas penting (sehingga dicetak miring) untuk menekankan maksud bahwa anggota himpunan tidak boleh sama.

Himpunan adalah kumpulan benda-benda real atau abstrak yang dapat di definisikan dengan jelas sehingga dapat dibedakan antara yang satu dengan yang lainnya.

• Objek di dalam himpunan disebut elemen, unsur, atau anggota
• Himpunan dilambangkan dengan huruf kapital misalnya A, B, C, D,…,Z dan objek-objek dari himpunan itu ditulis diantara dua kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma.
• Elemennya dinyatakan oleh huruf kecil a, b, c, dst. 

Sebagai contoh kumpulan dari alat musik tradisional Lampung, kumpulan dari buku-buku, kumpulan materai, kumpulan mahasiswa di kelas, dan sebagainya. Objek-objek yang dimasukan dalam satu kelompok haruslah mempunyai sifat-sifat tertentu yang sama. Sifat tertentu yang sama dari suatu himpunan harus didefinisikan secara tepat, agar kita tidak salah mengumpulkan objek-objek yang termasuk dalam himpunan tersebut. Dengan kata lain, himpunan dalam pengertian matematika objeknya atau anggotanya harus tertentu (well defined), jika tidak ia bukan himpunan.

Contoh Himpunan

•      A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10

•      A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

•      Kumpulan mahasiswa jurusan Pendidikan Matematika UHAMKA

•      Kumpulan anak-anak SD Isola

Contoh kumpulan yang bukan himpunan dalam pengertian matematika adalah:

•      Kumpulan bilangan

•      Kumpulan lukisan indah

•      Kumpulan makanan lezat.

 

Bagaimana Menyatakan Himpunan?

Menyatakan himpunan dalam matematika dapat menggunakan metode berikut:

1.     Metode Roster, yaitu dengan cara tabulasi atau mendaftar.  

Contoh penulisan himpunan menggunakan metode tabulasi:  

• Himpunan B adalah himpunan huruf vokal. Maka dapat ditulis berupa: B = {a, i, u, e, o}

2.      Metode Deskriptif, yaitu dengan cara menyebutkan syarat keanggotaannya.

Contoh:

•      K = {Tiga huruf abjad latin pertama}

•      T = {warna-warna lalu lintas}

 

3.      Metode Rule, yaitu dengan cara menggunakan notasi pembentuk himpunan.

•      C = {x | x alat musik tiup} 

Dibaca: himpunan C adalah himpunan x sedemikian hingga x adalah alat musik tiup.

•      P = {x | x bilangan prima kurang dari 12}

Dibaca: P merupakan suatu himpunan dengan x sedemikian sehingga x adalah bilangan prima kurang dari 12.

 

Diagram Venn

         Diagram Venn adalah cara untuk menyatakan himpunan dengan gambar. Diagram ini diperkenalkan pertama kali oleh John Venn seorang ahli Matematika berkebangsaan Inggris pada tahun 1834–1923. Beliau mengemukakan suatu cara yang praktis untuk menggambarkan hubungan antara himpunan, dengan menggunakan kurva tertutup, misalnya lingkaran, ellips, garis lengkung sebarang atau segi banyak sebagai batas himpunan– himpunan tersebut.

            Bagaimanakah caranya? Terdapat dua bagian kunci untuk menyatakan diagram venn, yaitu semesta dan himpunan-himpunannya. Semesta (S) dinyatakan (digambarkan) dengan persegi panjang dan himpunan–himpunan lain yang dinyatakan dengan kurva tertutup yang terletak di dalam persegi panjang. Lebih jelasnya dapat dicontohkan sebagai berikut.

Contoh:

·         Jika: S = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } A = { 1 , 2 , 3 , 6 , 7 } B = { 3 , 4 , 5 , 7 }

 Maka diagram venn-nya dapat disajikan sebagai berikut:

Macam - Macam Himpunan

1.      Himpunan Kosong

Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak memiliki atau tidak mempunyai anggota. Himpunan kosong dilambangkan atau dinotasikan dengan Φ atau { }. contoh himpunan kosong di bawah ini:

•      Himpunan A adalah himpunan mahasiswa PGTK UT yang berusia 6 tahun.

•      Himpunan B adalah himpunan bilangan asli yang lebih kecil dari 1.

2.      Himpunan Semesta (Universum)

Himpunan semesta adalah suatu himpunan yang memuat seluruh benda atau semua objek yang sedang dibicarakan, atau himpunan yang menjadi objek pembicaraan. Himpunan semesta sering disebut semesta pembicaraan atau set universum, dilambangkan dengan S atau U. Contoh

•      Himpunan anak TK Nugraha yang memakai jepit rambut.

Maka himpunan semestanya adalah himpunan semua anak TK Nugraha.

 

Relasi Antar Himpunan

1.      Himpunan Sama

Himpunan A dan B disebut sama, bila keduanya memiliki anggota yang persis sama,  tanpa melihat urutannya. Contoh:

A= { 1, 2 , 3 } dan B= { 3 , 1 , 2 }. Maka A=B, karena setiap anggota himpunan A ada pada himpunan B, dan setiap anggota himpunan B termasuk anggota himpunan A.

2.      Himpunan Ekuivalen

Dua himpunan dikatakan ekuivalen apabila jumlah anggota kedua himpunan itu sama, tetapi bendanya ada yang tidak sama. Contoh:

A = {nama hari dalam seminggu yang diawali dengan huruf S} A = {senin, selasa, sabtu} n (A) = 3) B = { a, b, c } n (B) = 3 Maka, A ~ B, karena n ( A ) = n ( B ).

3.      Himpunan Bagian

Himpunan A disebut himpunan bagian dari himpunan B, ditulis dengan lambang A ⊂ B, bila setiap anggota A termasuk anggota B.

4.      Himpunan Kuasa

Yaitu himpunan yang anggotanya adalah himpunan-himpunan dari suatu himpunan. Contoh:

Jika A = {a, b, c}, maka himpunan kuasa dari A adalah :

2A = {ø, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, A}

Jika m adalah banyaknya anggota himpunan A, maka banyaknya anggota himpunan kuasa dari A adalah 2m.

5.      Himpunan Saling Lepas

Yaitu dua himpunan 𝐴 dan 𝐵 dikatakan saling lepas jika keduanya tidak memiliki elemen yang sama. Contoh:

Jika 𝐴 = {𝑥|𝑥 ≤ 10, 𝑥∈𝐏} dan 𝐵 = {𝑥|𝑥 > 10, 𝑥∈𝐏}, maka 𝐴 ∕∕ B

6.      Kesamaan Himpunan

Himpunan 𝐴 diaktakan smaa dengan himpunan 𝐵 jika dan hanya jika keduanya memiliki elemen yang sama

 

Relasi Antar Himpunan

1.      Irisan (Intersection)

Contoh:

Jika 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan 𝐵 = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, maka 𝐴 ∩ 𝐵 = {4, 5, 6}

2.      Gabungan (Union)

Contoh:

Jika 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan 𝐵 = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, maka 𝐴∪𝐵 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

3.      Komplemen (Complement)

Contoh: 

Jika 𝑈 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} dan 𝐵 = {4, 5, 6, 7, 8, 9}, maka 𝐴′ = {1, 2, 3, 7, 8, 9}

4.      Selisih (Difference)

Contoh:

Jika 𝐴 = {1, 2, 3, … , 10} dan 𝐵 = {2, 4, 6, 8, 10}. Maka 𝐴 − 𝐵 = {1, 3, 5, 7, 9}, tetapi 𝐵 − 𝐴 = ∅

 

Daftar Pustaka

Amir, M. F. & Prasojo, B. H. 2016. Matematika Dasar. Sidoarjo: UMSIDA Press.