LOGIKA MATEMATIKA (KUANTOR)

Mengenal Kuantor dan Jenis-Jenisnya

A. Pengertian Kuantor

Apa yang kalian ketahui tentang kuantor?

Kuantor adalah suatu istilah yang menyatakan “berapa banyak” dari suatu objek dalam suatu sistem. Suatu kesimpulan dalam logika sering digambarkan menggunakan kuantor-kuantor. Kuantor adalah suatu kata yang menunjukkan suatu ukuran kuantitas atau jumlah, atau banyaknya suatu elemen. Pernyataan berkuantor adalah pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas atau jumlah. Ukuran kuantitas jumlah seperti semua, setiap, beberapa, ada, dan sebagainya. 

B. Jenis-Jenis Kuantor

kuantor dibagi menjadi dua bagian, yaitu:

1.    Kuantor Universal

Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka, dengan x anggota himpunan semesta pembicaraan S. Pernyataan:

 

("x ÎS p(x) atau (" x) p(x)

 

dibaca ”untuk setiap x, berlakulah p(x)” disebut kalimat berkuantor universal (universal quatifier). Penggunaan kata ”untuk setiap” pada kuantor universal, senilai dengan kata ”untuk semua”, ”untuk tiap-tiap”, dan ”untuk seluruh”. Kuantor Universal ini menggunakan simbol  ".

 

Contoh kuantor universal:

(i)           Misalkan p(x) : x ∈ Z, x < 0. Maka (∀x ∈ Z)p(x) menyatakan ”untuk setiap x ∈ Z, x < 0” bernilai salah karena ada x = 3 ∈ Z > 0.

(ii)          (ii)Misalkan A = {x ∈ Z|x + 1 > 0}, maka (∀a ∈ Z ), a + 1 > 0 bernilai salah karena ada a = −4 ∈ Z, −4 + 1 = −3 < 0.

 

2.  Kuantor Eksistensial

Misalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka pada suatu himpunan semesta pembicaraan S. Pernyataan:

 

( $x ÎS) p(x) atau ( $ x) p(x)

 

Dibaca “terdapat x sehingga p(x)” disebut kalimat kuantor eksistensial (exsistential quantifier). Kata “terdapat” senilai dengan kata “ada”, “beberapa”, dan “untuk paling sedikit satu”. Kuantor Eksistensial ini menggunakan simbol  $.

 

Contoh kuantor eksistensial:

(i)           (∃x ∈ Z) dengan x²< 0 bernilai salah karena untuk setiapx ∈ Z, x²> 0. (∃y ∈ Z), y > 0 bernilai benar karena ada y = 1 > 0.

 

Catat bahwa untuk menunjukkan pernyataan berkuantor eksistensial bernilai benar, kita cukup menunjukkan satu contoh yang memenuhi pernyataan tersebut. Sebaliknya, untuk menunjukkan bahwa pernyataan berkuantor eksistensial bernilai salah, kita harus menunjukkan bahwa tidak ada satu pun contoh yang memenuhi pernyataan tersebut.

C. Pengertian Kuantor Bersarang

      Kuantor bersarang adalah ekspresi pernyataan di mana terdapat dua kuantor yang dijadikan satu. Untuk dua kuantor dijadikan satu ini bisa universal dan universal ; universal dan eksistensial ; eksistensial dan eksistensial. Kuantor bersarang merupakan pernyataan berkuantor yang mengandung lebih dari 1 variabel. Kuantor bersarang ini juga dapat dikatakan kuantor majemuk.

Contoh Pernyataan Berkuantor Majemuk

• Untuk setiap bilangan real x dengan 0 ≤ x ≤ 1, terdapat bilangan real y dengan -1 ≤ y ≤ 1 sedemikian sehingga x + y2 = 1. 2
• Terdapat bilangan real M > 0 sedemikian sehingga untuk setiap x ϵ S berlaku x < M.

        D.   Nilai Kebenaran Kuantor Bersarang

1)   "x "y P (x,y)

·         Kapan bernilai benar?

P (x,y) bernilai benar untuk setiap pasangan x,y.

·         Kapan bernilai salah?

Jika ada x,y yang menghasilkan P(x,y) maka bernilai salah.

 

2)   "x $y P (x,y)

·         Kapan bernilai benar?

Jika untuk setiap x terdapat y yang jika dimasukan ke P(x,y) bernilai benar.

 

·         Kapan bernilai salah?

      Ketika x yang dimasukkan ke P(x,y) bernilai salah maka y semuanya salah.

3)   $x "y P (x,y)

·         Kapan bernilai benar?

Jika ada x yang jika dimasukan ke P(x,y) bernilai benar untuk setiap y.

 

·         Kapan bernilai salah?

Jika x salah, ada y yang jika dimasukkan ke P(x,y) bernilai salah.

 

4)   $x $y P (x,y)

·         Kapan bernilai benar?

Jika terdapat x dan y yang jika dimasukkan ke P(x,y) bernilai benar.

 

·         Kapan bernilai salah?

Jika terdapat x,y yang jika dimasukkan ke setiap P(x,y) bernilai salah maka semuanya salah.

E. Negasi Kuntor Bersarang

            Negasi, seperti yang anda kenal sebelumnya dapat diartikan sebagai penyangkal suatu nilai kebenaran. Negasi kalimat berkuantor universal adalah kalimat berkuantor eksistensial, sedangkan negasi kalimat berkuantor eksistensial adalah kalimat berkuantor universal. Jika terdapat kalimat kuantor universal ("x) p(x) dan kalimat berkuantor eksistensial ( $x) p(x), negasi dari keduanya ditulis sebagai berikut.

~("x) p(x) ($x) ~p(x)

~($x) p(x) ("x) ~p(x)

 

Daftar Pustaka

Anizar, M. Y. (2013, November 14). Kuantor. Retrieved from ub.ac.id: https://blog.ub.ac.id/yuyudstatistika/2013/11/14/kuantor/

 

Insani, N. (2013). Logika. Retrieved from uny.ac.id: http://staffnew.uny.ac.id/upload/132310890/pendidikan/LOGIKA+-+KUANTIFIKASI.pdf

 

Shafie, Niloufar. 2008. Nested Quantifiers [PowerPoint Slide]. https://www.eecs.yorku.ca/course_archive/2008-09/S/1019/Website_files/06-nested-quantifiers.pdf. Diakses tanggal 31 Oktober 2022

 

Jusnawati, S.Pd., M.Pd. Matematika dasar. Makassar:2014

 

Retno Damayanti, S.Pd. (2021). Logika Matematika. Pemeral Edukatif